Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{7} (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\cos^{6} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{6} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\cos (x)}^{2 (3)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{3} u^{5} d u$

Étape 5

Développez ${(1 - u^{2})}^{3} u^{5}$ .

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Étape 5.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int_{0}^{1} (1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Étape 5.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Étape 5.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Étape 5.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Étape 5.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Étape 5.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2}) u^{5} d u$

Étape 5.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2}))) u^{5} d u$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2}))) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Étape 5.9

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2})) u^{5} + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Étape 5.10

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot (1 \cdot 1) u^{5} + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) u^{5} + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Étape 5.11

Déplacez $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Étape 5.12

Déplacez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Étape 5.13

Déplacez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Étape 5.14

Déplacez $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) u^{5} d u$

Étape 5.15

Déplacez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.16

Déplacez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.17

Déplacez $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.18

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.19

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.20

Multipliez $u^{5}$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.21

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.22

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} + 3 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.23

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{2 + 5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.25

Additionnez $2$ et $5$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.26

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.27

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.28

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.29

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{2 + 2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.30

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{4} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{4 + 5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.32

Additionnez $4$ et $5$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.33

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.34

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.35

Factorisez le signe négatif.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - (u^{2} u^{2}) u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.36

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{2 + 2} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.37

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{4} u^{2} u^{5} d u$

Étape 5.38

Factorisez le signe négatif.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - (u^{4} u^{2}) u^{5} d u$

Étape 5.39

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{4 + 2} u^{5} d u$

Étape 5.40

Additionnez $4$ et $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{6} u^{5} d u$

Étape 5.41

Factorisez le signe négatif.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - (u^{6} u^{5}) d u$

Étape 5.42

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{6 + 5} d u$

Étape 5.43

Additionnez $6$ et $5$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{11} d u$

Étape 5.44

Remettez dans l’ordre $u^{5}$ et $- 3 u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} - 3 u^{7} + u^{5} + 3 u^{9} - u^{11} d u$

Étape 5.45

Déplacez $u^{5}$ .

$\int_{0}^{1} - 3 u^{7} + 3 u^{9} + u^{5} - u^{11} d u$

Étape 5.46

Remettez dans l’ordre $- 3 u^{7}$ et $3 u^{9}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{9} - 3 u^{7} + u^{5} - u^{11} d u$

Étape 5.47

Déplacez $u^{5}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{9} - 3 u^{7} - u^{11} + u^{5} d u$

Étape 5.48

Déplacez $- 3 u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{9} - u^{11} - 3 u^{7} + u^{5} d u$

Étape 5.49

Remettez dans l’ordre $3 u^{9}$ et $- u^{11}$ .

$\int_{0}^{1} - u^{11} + 3 u^{9} - 3 u^{7} + u^{5} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} - u^{11} d u + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{1} u^{11} d u + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{11}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$- (\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 9

Associez $\frac{1}{12}$ et $u^{12}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 10

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{9}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 12

Associez $\frac{1}{10}$ et $u^{10}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 13

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 \int_{0}^{1} u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 15

Associez $\frac{1}{8}$ et $u^{8}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Étape 17

Remplacez et simplifiez.

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Étape 17.1

Évaluez $\frac{u^{12}}{12}$ sur $1$ et sur $0$ .

$- ((\frac{1^{12}}{12}) - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Étape 17.2

Évaluez $\frac{u^{10}}{10}$ sur $1$ et sur $0$ .

$- (\frac{1^{12}}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Étape 17.3

Évaluez $\frac{u^{8}}{8}$ sur $1$ et sur $0$ .

$- (\frac{1^{12}}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 ((\frac{1^{8}}{8}) - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Étape 17.4

Évaluez $\frac{1}{6} u^{6}$ sur $1$ et sur $0$ .

$- (\frac{1^{12}}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5

Simplifiez

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Étape 17.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{1}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{1}{12} - \frac{0}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $12$ .

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Étape 17.5.3.1

Factorisez $12$ à partir de $0$ .

$- (\frac{1}{12} - \frac{12 (0)}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.5.3.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$- (\frac{1}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{1}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{1}{12} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{1}{12} - 0) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{1}{12} + 0) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.5

Additionnez $\frac{1}{12}$ et $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{0}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.5.8.1

Factorisez $10$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{10 (0)}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.5.8.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - 0) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} + 0) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.10

Additionnez $\frac{1}{10}$ et $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.11

Associez $3$ et $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{12} + \frac{3}{10} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.12

Pour écrire $- \frac{1}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{12} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{10} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.13

Pour écrire $\frac{3}{10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{12} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{10} \cdot \frac{6}{6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $60$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.5.14.1

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{5}{12 \cdot 5} + \frac{3}{10} \cdot \frac{6}{6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.14.2

Multipliez $12$ par $5$ .

$- \frac{5}{60} + \frac{3}{10} \cdot \frac{6}{6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.14.3

Multipliez $\frac{3}{10}$ par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{5}{60} + \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.14.4

Multipliez $10$ par $6$ .

$- \frac{5}{60} + \frac{3 \cdot 6}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 + 3 \cdot 6}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.5.16.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{- 5 + 18}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.16.2

Additionnez $- 5$ et $18$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{0}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.19

Annulez le facteur commun à $0$ et $8$ .

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Étape 17.5.19.1

Factorisez $8$ à partir de $0$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{8 (0)}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.5.19.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.19.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - 0) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.20

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} + 0) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.21

Additionnez $\frac{1}{8}$ et $0$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.22

Associez $- 3$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{13}{60} + \frac{- 3}{8} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{13}{60} - \frac{3}{8} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.24

Pour écrire $\frac{13}{60}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{60} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{8} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.25

Pour écrire $- \frac{3}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{13}{60} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.26

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $120$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.5.26.1

Multipliez $\frac{13}{60}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13 \cdot 2}{60 \cdot 2} - \frac{3}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.26.2

Multipliez $60$ par $2$ .

$\frac{13 \cdot 2}{120} - \frac{3}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.26.3

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{13 \cdot 2}{120} - \frac{3 \cdot 15}{8 \cdot 15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.26.4

Multipliez $8$ par $15$ .

$\frac{13 \cdot 2}{120} - \frac{3 \cdot 15}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13 \cdot 2 - 3 \cdot 15}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.5.28.1

Multipliez $13$ par $2$ .

$\frac{26 - 3 \cdot 15}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.28.2

Multipliez $- 3$ par $15$ .

$\frac{26 - 45}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.28.3

Soustrayez $45$ de $26$ .

$\frac{- 19}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.29

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.30

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.31

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Étape 17.5.32

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0$

Étape 17.5.33

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} + 0 (\frac{1}{6})$

Étape 17.5.34

Multipliez $0$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} + 0$

Étape 17.5.35

Additionnez $\frac{1}{6}$ et $0$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6}$

Étape 17.5.36

Pour écrire $\frac{1}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 17.5.37

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $120$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.5.37.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{20}{20}$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{20}{6 \cdot 20}$

Étape 17.5.37.2

Multipliez $6$ par $20$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{20}{120}$

Étape 17.5.38

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 19 + 20}{120}$

Étape 17.5.39

Additionnez $- 19$ et $20$ .

$\frac{1}{120}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{120}$

Forme décimale :

$0.008\overline{3}$