Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5

Additionnez $- \sin (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez $- \sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (x)$

Étape 4.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x)$

Étape 4.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (lim_{x \to 0} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \sin (0)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 0$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$