Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 2) (x + 1) (x - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (x + 2) (x + 1)$ et $g (x) = x - 3$ .

$(x + 2) (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 2) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 2) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 2) (x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 2) (x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x + 1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Étape 1.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Étape 1.4.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) (1 + 0))$

Étape 1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) \cdot 1)$

Étape 1.4.8.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + x + 1)$

Étape 1.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (2 x + 2 + 1)$

Étape 1.4.8.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) x + (x + 2) \cdot 1 + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + (x + 2) \cdot 1 + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot 3$

Étape 1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot 3$

Étape 1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7

Associez des termes.

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Étape 1.5.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x + x + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x + x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.7

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.12

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.13

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + 3 \cdot x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.7.14

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + 3 x - 9$

Étape 1.5.7.15

Additionnez $- 6 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 x - 9$

Étape 1.5.7.16

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + 2 - 3 x - 9$

Étape 1.5.7.17

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$3 x^{2} + 0 + 2 - 9$

Étape 1.5.7.18

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + 2 - 9$

Étape 1.5.7.19

Soustrayez $9$ de $2$ .

$3 x^{2} - 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 7 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$(x + 2) (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 2) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 2) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 2) (x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 2) (x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 1)]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x + 1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4.1.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) ((x + 2) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4.1.4.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4.1.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Étape 4.1.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Étape 4.1.4.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) (1 + 0))$

Étape 4.1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + (x + 1) \cdot 1)$

Étape 4.1.4.8.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (x + 2 + x + 1)$

Étape 4.1.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (2 x + 2 + 1)$

Étape 4.1.4.8.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 2) (x + 1) + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) x + (x + 2) \cdot 1 + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + (x + 2) \cdot 1 + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot 3$

Étape 4.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot 3$

Étape 4.1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 2 x + x \cdot 1 + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x + x + 2 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x + x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.7

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.12

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.13

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + 3 \cdot x - 3 \cdot 3$

Étape 4.1.5.7.14

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + 3 x - 9$

Étape 4.1.5.7.15

Additionnez $- 6 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 x - 9$

Étape 4.1.5.7.16

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + 2 - 3 x - 9$

Étape 4.1.5.7.17

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$3 x^{2} + 0 + 2 - 9$

Étape 4.1.5.7.18

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + 2 - 9$

Étape 4.1.5.7.19

Soustrayez $9$ de $2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 7$ .

$3 x^{2} - 7$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 7 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 7$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{7}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Étape 5.5.4.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{21}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{\sqrt{21}}{3})$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{21}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{21}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = ((\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) + 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Développez $(\frac{\sqrt{21}}{3} + 2) (\frac{\sqrt{21}}{3} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{21}}{3} + 1) + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3} + 1)) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3} + 1)) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Étape 11.2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{21}}{3}$ par $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.1.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.1.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 11.2.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à $21$ et $9$ .

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Étape 11.2.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{3 (7)}{9} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{21}}{3}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.5

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2 \cdot 1) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7 + 2 \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7 + 6}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.5.2

Additionnez $7$ et $6$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{13}{3} + \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{13}{3} + \frac{\sqrt{21} + 2 \sqrt{21}}{3}) ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 + \sqrt{21} + 2 \sqrt{21}}{3} \cdot ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.4

Additionnez $\sqrt{21}$ et $2 \sqrt{21}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot ((\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 11.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot - 3$

Étape 11.2.6

Multipliez $\frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Étape 11.2.6.1

Multipliez $\frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3}$ par $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{(13 + 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{3 \cdot 3} + \frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot - 3$

Étape 11.2.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{(13 + 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + \frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot - 3$

Étape 11.2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{(13 + 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + \frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 11.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{(13 + 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + \frac{13 + 3 \sqrt{21}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 11.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{(13 + 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 \sqrt{21} \sqrt{21}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.2

Multipliez $3 \sqrt{21} \sqrt{21}$ .

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Étape 11.2.8.2.1

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 (\sqrt{21} \sqrt{21})}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.2.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 (\sqrt{21} \sqrt{21})}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 {\sqrt{21}}^{1 + 1}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 {\sqrt{21}}^{2}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.8.3.1

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 11.2.8.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.8.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 \cdot 21}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 3 \cdot 21}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.3.2

Multipliez $3$ par $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63}{9} + (13 + 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 11.2.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63}{9} + 13 \cdot - 1 + 3 \sqrt{21} \cdot - 1$

Étape 11.2.8.5

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63}{9} - 13 + 3 \sqrt{21} \cdot - 1$

Étape 11.2.8.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63}{9} - 13 - 3 \sqrt{21}$

Étape 11.2.9

Pour écrire $- 13$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63}{9} - 13 \cdot \frac{9}{9} - 3 \sqrt{21}$

Étape 11.2.10

Associez $- 13$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63}{9} + \frac{- 13 \cdot 9}{9} - 3 \sqrt{21}$

Étape 11.2.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63 - 13 \cdot 9}{9} - 3 \sqrt{21}$

Étape 11.2.11.2

Multipliez $- 13$ par $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} + 63 - 117}{9} - 3 \sqrt{21}$

Étape 11.2.11.3

Soustrayez $117$ de $63$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} - 54}{9} - 3 \sqrt{21}$

Étape 11.2.12

Pour écrire $- 3 \sqrt{21}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} - 54}{9} - 3 \sqrt{21} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 11.2.13

Associez les fractions.

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Étape 11.2.13.1

Associez $- 3 \sqrt{21}$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} - 54}{9} + \frac{- 3 \sqrt{21} \cdot 9}{9}$

Étape 11.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} - 54 - 3 \sqrt{21} \cdot 9}{9}$

Étape 11.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.14.1

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 \sqrt{21} - 54 - 27 \sqrt{21}}{9}$

Étape 11.2.14.2

Soustrayez $27 \sqrt{21}$ de $13 \sqrt{21}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 54 - 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 11.2.15

Simplifiez en factorisant.

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Étape 11.2.15.1

Réécrivez $- 54$ comme $- 1 (54)$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 54 - 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 11.2.15.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 14 \sqrt{21}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 54 - (14 \sqrt{21})}{9}$

Étape 11.2.15.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (54) - (14 \sqrt{21})$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 1 (54 + 14 \sqrt{21})}{9}$

Étape 11.2.15.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{54 + 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 11.2.16

La réponse finale est $- \frac{54 + 14 \sqrt{21}}{9}$ .

$y = - \frac{54 + 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{\sqrt{21}}{3})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- \sqrt{21}}{3}$

Étape 13.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- \sqrt{21}}{3}$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- \sqrt{21}}{3}$

Étape 13.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- \sqrt{21})$

Étape 13.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sqrt{21}$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Développez $(- \frac{\sqrt{21}}{3} + 2) (- \frac{\sqrt{21}}{3} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot (- \frac{\sqrt{21}}{3} + 1) + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3} + 1)) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot (- \frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3} + 1)) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot (- \frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1.1

Multipliez $- \frac{\sqrt{21}}{3} (- \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

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Étape 15.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (1 (\frac{\sqrt{21}}{3}) \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{21}}{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{21}}{3}$ par $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.1.4

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.1.5

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.1.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 15.2.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{21}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à $21$ et $9$ .

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Étape 15.2.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{3 (7)}{9} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.5

Multipliez $2 (- \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

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Étape 15.2.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{21}}{3} + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2 \cdot 1) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.1.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7 + 2 \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{7 + 6}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.5.2

Additionnez $7$ et $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{13}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{2 \sqrt{21}}{3}) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = (\frac{13}{3} + \frac{- \sqrt{21} - 2 \sqrt{21}}{3}) ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 - \sqrt{21} - 2 \sqrt{21}}{3} \cdot ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.4

Soustrayez $2 \sqrt{21}$ de $- \sqrt{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} \cdot ((- \frac{\sqrt{21}}{3}) - 3)$

Étape 15.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} \cdot (- \frac{\sqrt{21}}{3}) + \frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} \cdot - 3$

Étape 15.2.6

Multipliez $\frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} (- \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

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Étape 15.2.6.1

Multipliez $\frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3}$ par $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{(13 - 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{3 \cdot 3} + \frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} \cdot - 3$

Étape 15.2.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{(13 - 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + \frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} \cdot - 3$

Étape 15.2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{(13 - 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + \frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 15.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{(13 - 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + \frac{13 - 3 \sqrt{21}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 15.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{(13 - 3 \sqrt{21}) \sqrt{21}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 \sqrt{21} \sqrt{21}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.2

Multipliez $- 3 \sqrt{21} \sqrt{21}$ .

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Étape 15.2.8.2.1

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 (\sqrt{21} \sqrt{21})}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.2.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 (\sqrt{21} \sqrt{21})}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 {\sqrt{21}}^{1 + 1}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 {\sqrt{21}}^{2}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.8.3.1

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 15.2.8.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.8.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 \cdot 21}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 3 \cdot 21}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.3.2

Multipliez $- 3$ par $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 63}{9} + (13 - 3 \sqrt{21}) \cdot - 1$

Étape 15.2.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 63}{9} + 13 \cdot - 1 - 3 \sqrt{21} \cdot - 1$

Étape 15.2.8.5

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 63}{9} - 13 - 3 \sqrt{21} \cdot - 1$

Étape 15.2.8.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 63}{9} - 13 + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.9

Pour écrire $- 13$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 63}{9} - 13 \cdot \frac{9}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.10

Associez les fractions.

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Étape 15.2.10.1

Associez $- 13$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{13 \sqrt{21} - 63}{9} + \frac{- 13 \cdot 9}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- (13 \sqrt{21} - 63) - 13 \cdot 9}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.10.2.2

Multipliez $- 13$ par $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- (13 \sqrt{21} - 63) - 117}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- (13 \sqrt{21}) + 63 - 117}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.11.2

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 13 \sqrt{21} + 63 - 117}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.11.3

Multipliez $- 1$ par $- 63$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 13 \sqrt{21} + 63 - 117}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.11.4

Soustrayez $117$ de $63$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 13 \sqrt{21} - 54}{9} + 3 \sqrt{21}$

Étape 15.2.12

Pour écrire $3 \sqrt{21}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 13 \sqrt{21} - 54}{9} + 3 \sqrt{21} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 15.2.13

Associez les fractions.

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Étape 15.2.13.1

Associez $3 \sqrt{21}$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 13 \sqrt{21} - 54}{9} + \frac{3 \sqrt{21} \cdot 9}{9}$

Étape 15.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 13 \sqrt{21} - 54 + 3 \sqrt{21} \cdot 9}{9}$

Étape 15.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.14.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 13 \sqrt{21} - 54 + 27 \sqrt{21}}{9}$

Étape 15.2.14.2

Additionnez $- 13 \sqrt{21}$ et $27 \sqrt{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 54 + 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 15.2.15

Simplifiez en factorisant.

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Étape 15.2.15.1

Réécrivez $- 54$ comme $- 1 (54)$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 54 + 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 15.2.15.2

Factorisez $- 1$ à partir de $14 \sqrt{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 54 - (- 14 \sqrt{21})}{9}$

Étape 15.2.15.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (54) - (- 14 \sqrt{21})$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{- 1 (54 - 14 \sqrt{21})}{9}$

Étape 15.2.15.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = - \frac{54 - 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 15.2.16

La réponse finale est $- \frac{54 - 14 \sqrt{21}}{9}$ .

$y = - \frac{54 - 14 \sqrt{21}}{9}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = (x + 2) (x + 1) (x - 3)$ .

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{54 + 14 \sqrt{21}}{9})$ est un minimum local

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{54 - 14 \sqrt{21}}{9})$ est un maximum local

Étape 17