Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos^{4} (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\cos^{4} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\cos (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 8.2

Réécrivez $\frac{1 + \cos (u_{2})}{2}$ comme un produit.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

Étape 8.3

Développez ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2}$ .

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Étape 8.3.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.6

Appliquez la propriété distributive.

Étape 8.3.7

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.8

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.9

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.10

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.11

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.12

Déplacez $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.13

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 8.3.14

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.16

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.17

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.18

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.19

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.20

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.21

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.22

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.23

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.24

Multipliez $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.25

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.26

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.27

Multipliez $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.28

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8.3.29

Associez $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.30

Élevez $\cos (u_{2})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.31

Élevez $\cos (u_{2})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.32

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.33

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.34

Additionnez $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ et $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.35

Associez $2$ et $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.36

Remettez dans l’ordre $\frac{2 \cos (u_{2})}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.3.37

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 11

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{2})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 14

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 15

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 16

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 16.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 16.1.1

Différenciez $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Étape 16.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Étape 16.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 16.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 16.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{2}$ dans $u_{3} = 2 u_{2}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 16.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 16.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{2}$ dans $u_{3} = 2 u_{2}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 16.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 16.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 16.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 16.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ , $d u_{3}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 17

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 18

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 19

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})]_{0}^{π}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 20

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u_{3})]_{0}^{π}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 21

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{1}{4} u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 22

Associez $\frac{1}{4}$ et $u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 23

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 24

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25

Simplifiez

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Étape 25.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2})$

Étape 25.2

Pour écrire $\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25.3

Associez $\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) \cdot 2 + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25.5

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 25.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 25.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 25.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 26

Remplacez et simplifiez.

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Étape 26.1

Évaluez $u_{2}$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 26.2

Évaluez $\sin (u_{3})$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 26.3

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 26.4

Évaluez $\frac{u_{2}}{4}$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{2} + (\frac{\frac{π}{2}}{4}) - \frac{0}{4})$

Étape 26.5

Simplifiez

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Étape 26.5.1

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{2} + (\frac{\frac{π}{2}}{4}) - \frac{0}{4})$

Étape 26.5.2

Réécrivez $\frac{\frac{π}{2}}{4}$ comme un produit.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Étape 26.5.3

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2 \cdot 4} - \frac{0}{4})$

Étape 26.5.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{0}{4})$

Étape 26.5.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 26.5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 26.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 26.5.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 26.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 26.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{0}{1})$

Étape 26.5.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - 0)$

Étape 26.5.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} + 0)$

Étape 26.5.7

Additionnez $\frac{π}{8}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 27.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2}) + 1 - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 27.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2}) + 1 - 0}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 27.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) + 0}{2}) + 1 - 0}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 27.5

Additionnez $\sin (π)$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1 - 0}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 27.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1 + 0}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 27.7

Additionnez $\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28

Simplifiez

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Étape 28.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π + 0}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.3

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.4

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 28.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π}{4 \cdot 2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π}{8} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 28.5.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π}{8} + \frac{8}{8}}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π + 8}{8}}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.5.3

Multipliez $\frac{π + 8}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 28.5.3.1

Multipliez $\frac{π + 8}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{8 \cdot 2} + \frac{π}{8})$

Étape 28.5.3.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 28.6

Pour écrire $\frac{π}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π}{8} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 28.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 28.7.1

Multipliez $\frac{π}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π \cdot 2}{8 \cdot 2})$

Étape 28.7.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π \cdot 2}{16})$

Étape 28.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π + 8 + π \cdot 2}{16}$

Étape 28.9

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π + 8 + 2 \cdot π}{16}$

Étape 28.10

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 π + 8}{16}$

Étape 28.11

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{3 π + 8}{16}$ .

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Étape 28.11.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3 π + 8}{16}$ .

$\frac{3 π + 8}{4 \cdot 16}$

Étape 28.11.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{3 π + 8}{64}$

Étape 29

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 π + 8}{64}$

Forme décimale :

$0.27226215 \dots$