Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\ln (1 - x^{2})}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (1 - x^{2})$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2})] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- (2 x)) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- 2 x) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{- 2}{1 - x^{2}} x - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.3

Associez $x$ et $\frac{- 2}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{x \cdot - 2}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.4.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x - 1) \frac{- 2 \cdot x}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1^{2} - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.4

Multipliez $- 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)})$ .

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Étape 4.1.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1 \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.4.2

Multipliez $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ par $1$ .

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.5

Multipliez $- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Étape 4.1.1.5.1

Associez $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ et $x$ .

$\frac{- \frac{2 x \cdot x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x^{1})}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{2 x^{1 + 1}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \ln (1 - x^{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2}) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Associez $- \ln (1 - x^{2})$ et $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 (1 - x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x \cdot x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - (x \cdot x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1 - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.5

Multipliez $- \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})$ .

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Étape 4.1.6.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + 1 \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6.5.2

Multipliez $\ln (1 - x^{2})$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$ par $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - x) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x)) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1 + x)) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 (x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.7

Multipliez $x - 1$ par ${(x - 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Déplacez ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} (x - 1))}$

Étape 4.2.7.2

Multipliez ${(x - 1)}^{2}$ par $x - 1$ .

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Étape 4.2.7.2.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1})}$

Étape 4.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{2 + 1}}$

Étape 4.2.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- 1 \cdot (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.9

Réécrivez $- 1 (1 + x)$ comme $- (1 + x)$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) {(x - 1)}^{3}}$