Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Alors $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4.1.4.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 4.1.4.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 4.1.4.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin^{2} (x)$ .

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$