Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} - 5 x)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos (\frac{π}{6} - 5 x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \frac{π}{6} - 5 x$ . Alors $d u = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \frac{π}{6} - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{π}{6} - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{6} - 5 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{π}{6} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{π}{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3.1.2.2

Comme $\frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 3.1.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{- 5} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \cos (u) (- \frac{1}{5}) d u$

Étape 4.2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{\cos (u)}{5} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{\cos (u)}{5} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{5} \int \cos (u) d u)$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{5} (\sin (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$- \frac{1}{5} \sin (u) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π}{6} - 5 x$ .

$- \frac{1}{5} \sin (\frac{π}{6} - 5 x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos (\frac{π}{6} - 5 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{5} \sin (\frac{π}{6} - 5 x) + C$