Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- {(t - 3)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - {(t - 3)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- {(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- {(t - 3)}^{2}$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- {(t - 3)}^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Étape 4.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + 0))$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) \cdot 1)$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t - 2 \cdot - 3)$

Étape 5.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t + 6)$