Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{3 w^{2}}{2} - \frac{2}{3 w^{2}}) d w$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{3 w^{2}}{2} - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{3 w^{2}}{2} d w + \int - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Étape 3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $w$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int w^{2} d w + \int - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{2}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) + \int - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $w$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \int \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Étape 6

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $w$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - (\frac{2}{3} \int \frac{1}{w^{2}} d w)$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez $w^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} \int {(w^{2})}^{- 1} d w$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(w^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} \int w^{2 \cdot - 1} d w$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} \int w^{- 2} d w$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{- 2}$ par rapport à $w$ est $- w^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} (- w^{- 1} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{6} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Étape 9.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + 1 (\frac{2}{3}) w^{- 1} + C$

Étape 9.2.5

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + \frac{2}{3} w^{- 1} + C$

Étape 9.2.6

Associez $\frac{2}{3}$ et $w^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + \frac{2 w^{- 1}}{3} + C$

Étape 9.2.7

Placez $w^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + \frac{2}{3 w} + C$