Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sin (20 x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{\sin (20 x)})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (20 x)}$ à $\csc (20 x)$ .

$\frac{d}{d y} [\csc (20 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \csc (y)$ et $g (y) = 20 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $20 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d y} [20 x]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\csc (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d y} [20 x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $20 x$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [20 x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $20 x$ par rapport à $y$ est $20 \frac{d}{d y} [x]$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) (20 \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$

Étape 3.5

Réorganisez les facteurs de $- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ par $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ par $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ .

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\cot (20 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $\csc (20 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Séparez les fractions.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\cot (20 x)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\cot (20 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$

Étape 5.2.3.4

Convertissez de $\frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$ à $\tan (20 x)$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \tan (20 x)$

Étape 5.2.3.5

Séparez les fractions.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\csc (20 x)} \tan (20 x)$

Étape 5.2.3.6

Réécrivez $\csc (20 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (20 x)}} \tan (20 x)$

Étape 5.2.3.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20} (1 \sin (20 x)) \tan (20 x)$

Étape 5.2.3.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.8.1

Multipliez $\sin (20 x)$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Étape 5.2.3.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{1}{20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Étape 5.2.3.9

Associez $\sin (20 x)$ et $\frac{1}{20}$ .

$x' = - \frac{\sin (20 x)}{20} \tan (20 x)$

Étape 5.2.3.10

Associez $\tan (20 x)$ et $\frac{\sin (20 x)}{20}$ .

$x' = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$