Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $t = \frac{1}{2}$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 t^{- 4}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{t^{4}}$

Étape 1.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 3}{t^{4}}$

Étape 1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{t^{4}}$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{4}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{\frac{1^{4}}{2^{4}}}$

Étape 1.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{\frac{1}{2^{4}}}$

Étape 1.4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{3}{\frac{1}{16}}$

Étape 1.4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (3 \cdot 16)$

Étape 1.4.3

Multipliez $- (3 \cdot 16)$ .

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $3$ par $16$ .

$- 1 \cdot 48$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$- 48$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 48$ et un point donné, tel que $(\frac{1}{2}, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 48 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 8 = 0 + 0 - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 8 = - 48 x - 48 (- \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y - 8 = - 48 x - 48 (\frac{- 1}{2})$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 48$ .

$y - 8 = - 48 x + 2 (- 24) \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y - 8 = - 48 x + 2 \cdot - 24 \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y - 8 = - 48 x - 24 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$y - 8 = - 48 x + 24$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 48 x + 24 + 8$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $24$ et $8$ .

$y = - 48 x + 32$

Étape 3