Calcul infinitésimal Exemples

$2 e^{3 t} - e^{2 t}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{3 t} - e^{2 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 e^{3 t}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 3 t$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 t$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 t$ .

$2 (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (e^{3 t} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (e^{3 t} \cdot 3) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 t}) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{2 t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$6 e^{3 t} - \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 t$ .

$6 e^{3 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 e^{3 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \cdot 2)$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 t}$ .

$6 e^{3 t} - (2 \cdot e^{2 t})$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t}$