Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} (\frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Étape 5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $4$ et sur $2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 2 x]_{2}^{4}$

Étape 9.3

Évaluez $2 x$ sur $4$ et sur $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $256$ .

$\frac{1}{2} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 16) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.5

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 16 (\frac{1}{4})) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.6

Associez $- 16$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 16}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.7

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

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Étape 9.4.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 4}{1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.7.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 4) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.8

Soustrayez $4$ de $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot 60 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $60$ .

$\frac{60}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.10

Annulez le facteur commun à $60$ et $2$ .

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Étape 9.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{30}{1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.10.2.4

Divisez $30$ par $1$ .

$30 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$30 - 3 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.12

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$30 - 3 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.12.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$30 - 3 (8 - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.14

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$30 - 3 (8 - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.14.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$30 - 3 (8 - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$30 - 3 (8 - 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.16

Soustrayez $2$ de $8$ .

$30 - 3 \cdot 6 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.17

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$30 - 18 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.18

Soustrayez $18$ de $30$ .

$12 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.19

Multipliez $2$ par $4$ .

$12 + 8 - 2 \cdot 2$

Étape 9.4.20

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$12 + 8 - 4$

Étape 9.4.21

Soustrayez $4$ de $8$ .

$12 + 4$

Étape 9.4.22

Additionnez $12$ et $4$ .

$16$

Étape 10