Calcul infinitésimal Exemples

$x (t) = t^{2} - 4 t$ et $y (t) = 2 t^{3} - 6 t$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = t^{2} - 4 t$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $t^{2} - 4 t = x$ .

$t^{2} - 4 t = x$

Étape 3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$t^{2} - 4 t - x = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $- 4 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.3

Ajoutez des parenthèses.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Réécrivez $- 4 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.3

Ajoutez des parenthèses.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Étape 8.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Réécrivez $- 4 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Étape 8.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3.3

Ajoutez des parenthèses.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 10

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Étape 11

Simplifiez $2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$ .

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $- 6$ par chaque élément de la matrice.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}), - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Étape 11.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 11.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 \cdot 2 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Étape 11.1.2.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Étape 11.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 \cdot 2 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Étape 11.1.2.4

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Étape 11.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Étape 11.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 11.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Étape 11.2.2

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Étape 11.2.3

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Étape 11.2.4

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)})$