Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 1]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $x e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Étape 7.2

Évaluez $e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Étape 7.3.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Étape 7.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

Étape 7.3.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

Étape 7.3.5

Additionnez $e$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

Étape 7.3.6

Simplifiez

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

Étape 7.3.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

Étape 7.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Étape 8.2

Soustrayez $e$ de $e$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

Étape 8.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

Étape 9.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Étape 10

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Étape 10.1.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1 \cdot 1$

Étape 10.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$A (x) = 1$

Étape 11