Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{x^{2} + 4 x + 3} (x + 2) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Alors $d u = (2 x + 4) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 3]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$2 x + 4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} e^{x^{2} + 4 x + 3} + C$