Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

Étape 4.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Associez $8$ et $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

Étape 5.1.2

Associez $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ et $x$ .

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ comme $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Étape 5.3.2

Développez $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Étape 5.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 5.3.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $12 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Étape 5.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Étape 5.3.5

Factorisez $2$ à partir de $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Étape 5.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Étape 5.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Étape 5.3.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Étape 5.3.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Étape 5.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$