Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{3} - 15 x = x$

Étape 1.2

Résolvez $x^{3} - 15 x = x$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $x$ de $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 16 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - 4$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = 4$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$y = 4$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4$

Étape 1.6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 4$ et $0$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ de $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Étape 3.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 16$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Étape 3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Étape 3.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $0$ et sur $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Étape 3.7.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3

Simplifiez

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Étape 3.7.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.3

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.4

Multipliez $256$ par $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.5

Associez $- 256$ et $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.6

Annulez le facteur commun à $- 256$ et $4$ .

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Étape 3.7.2.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.3.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.6.2.4

Divisez $- 64$ par $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.7

Soustrayez $64$ de $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.7.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.10

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Étape 3.7.2.3.11

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 3.7.2.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Étape 3.7.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Étape 3.7.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Étape 3.7.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Étape 3.7.2.3.11.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Étape 3.7.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Étape 3.7.2.3.13

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Étape 3.7.2.3.14

Multipliez $- 16$ par $- 8$ .

$- 64 + 128$

Étape 3.7.2.3.15

Additionnez $- 64$ et $128$ .

$64$

Étape 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $4$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 15$ par $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Étape 5.3

Additionnez $x$ et $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Étape 5.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Étape 5.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Étape 5.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Étape 5.8

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Étape 5.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.10.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $4$ et sur $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.10.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3

Simplifiez

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Étape 5.10.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.2

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 5.10.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.10.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.2.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 5.10.2.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.10.2.3.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.6

Additionnez $64$ et $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.9

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 5.10.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.10.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.9.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.10.2.3.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Étape 5.10.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.10.2.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 5.10.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.10.2.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.10.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.10.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Étape 5.10.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Étape 5.10.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Étape 5.10.2.3.13

Additionnez $8$ et $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Étape 5.10.2.3.14

Multipliez $16$ par $8$ .

$- 64 + 128$

Étape 5.10.2.3.15

Additionnez $- 64$ et $128$ .

$64$

Étape 6

Additionnez $64$ et $64$ .

$128$

Étape 7