Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Étape 1

Écrivez $x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \cdot e^{\frac{x}{3}} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{\frac{x}{3}}$ .

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - \int 3 e^{\frac{1}{3} x} d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{x}{3}} d x)$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{\frac{x}{3}} d x$

Étape 7

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Alors $d u = \frac{1}{3} d x$ , donc $3 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 7.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Étape 8.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \cdot 3 d u$

Étape 8.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int 3 e^{u} d u$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 (3 \int e^{u} d u)$

Étape 10

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 \int e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$

Étape 12

Réécrivez $x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$ comme $3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{3}$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ .

$F (x) =$ $3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$