Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (7)} \frac{e^{x}}{e^{x} + 2} d x$

Étape 1

Laissez $u = e^{x} + 2$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = e^{x} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{x} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = e^{x} + 2$ .

$u_{lower} = e^{0} + 2$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = e^{x} + 2$ .

$u_{upper} = e^{\ln (7)} + 2$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$u_{upper} = 7 + 2$

Étape 1.5.2

Additionnez $7$ et $2$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $9$ et sur $3$ .

$\ln (| 9 |) - \ln (| 3 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Étape 5

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Étape 5.3

Divisez $9$ par $3$ .

$\ln (3)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (3)$

Forme décimale :

$1.09861228 \dots$

Étape 7