Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{4}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$9 \int \frac{1}{u^{4} \cdot 2} d u$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{4}$ .

$9 \int \frac{1}{2 u^{4}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{9}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{9}{2} \int u^{- 4} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ comme $\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Étape 7.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{9}{2 (3 u^{3})} + C$

Étape 7.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{9}{6 u^{3}} + C$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 7.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{3 (3)}{6 u^{3}} + C$

Étape 7.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 u^{3}$ .

$- \frac{3 (3)}{3 (2 u^{3})} + C$

Étape 7.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (2 u^{3})} + C$

Étape 7.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2 u^{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{3}} + C$