Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} d x \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Étape 1

Évaluez $\int_{2}^{4} d x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{2}^{4} \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Étape 1.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Évaluez $x$ sur $4$ et sur $2$ .

$((4) - 2) \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$2 \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Étape 2

Évaluez $\int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $\frac{1}{3 x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{3 x}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3 x} \int_{x}^{2 x} y d y)$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{1}{2} y^{2}]_{x}^{2 x})$

Étape 2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x})$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{1}{3 x}$ et $\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}$ .

$2 \frac{\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}}{3 x}$

Étape 2.3.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $2 x$ et sur $x$ .

$2 \frac{(\frac{{(2 x)}^{2}}{2}) - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 \frac{\frac{{(2 (x))}^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$2 \frac{\frac{2^{2} x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{\frac{2 x^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.4.2.4

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$2 \frac{2 x^{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.5

Pour écrire $2 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{2 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.6

Associez $2 x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2} - x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.9

Soustrayez $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$

Étape 2.3.2.2.10

Réécrivez $\frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$ comme un produit.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{3 x})$

Étape 2.3.2.2.11

Multipliez $\frac{3 x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (3 x)}$

Étape 2.3.2.2.12

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{6 x}$

Étape 2.3.2.2.13

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 (x^{2})}{6 x}$

Étape 2.3.2.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$2 \frac{3 (x^{2})}{3 (2 x)}$

Étape 2.3.2.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 x^{2}}{3 (2 x)}$

Étape 2.3.2.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{x^{2}}{2 x}$

Étape 2.3.2.2.14

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.14.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot x}{2 x}$

Étape 2.3.2.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.14.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{x}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (\frac{1}{2} x)$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$2 \frac{x}{2}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $2$ et $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 x}{2}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2}$

Étape 3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x$