Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Étape 5

Laissez $u = y + 9$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = y + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 9$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 5.1.4

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y + 9$ .

$u_{lower} = - 8 + 9$

Étape 5.3

Additionnez $- 8$ et $9$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 0 + 9$

Étape 5.5

Additionnez $0$ et $9$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{2} y^{2}$ sur $0$ et sur $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Étape 8.2

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.4

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.5

Associez $- 64$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.6

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $2$ .

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Étape 8.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.6.2.4

Divisez $- 32$ par $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.7

Soustrayez $32$ de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.8

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.9

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $8$ .

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Étape 8.3.9.1

Factorisez $8$ à partir de $- 32$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.9.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.9.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.10

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.13

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.14

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.15

Multipliez $2$ par $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.16

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 8.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.16.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 8.3.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

Étape 8.3.19

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 8.3.20

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 8.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Étape 8.3.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.22.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

Étape 8.3.22.2

Soustrayez $2$ de $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

Étape 8.3.23

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

Étape 8.3.24

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

Étape 8.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

Étape 8.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.26.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

Étape 8.3.26.2

Additionnez $- 12$ et $52$ .

$\frac{40}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{40}{3}$

Forme décimale :

$13.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$13 \frac{1}{3}$

Étape 10