Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{9 x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 7 - 3 x^{3}$ . Alors $d u = - 9 x^{2} d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 7 - 3 x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $7 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Étape 2.1.4

Soustrayez $9 x^{2}$ de $0$ .

$- 9 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{9}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{9}$ .

$9 \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 9} d u$

Étape 3.3

Déplacez $9$ à gauche de $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \int - \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$9 (- \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $- 9$ .

$\frac{- 9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 7.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - 3 x^{3}$ .

$- 2 {(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$