Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{3}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{3} x^{- 2} + \frac{1}{8} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{3} x^{- 2} + \frac{1}{8} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{3}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{3}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{- 9}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 9}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{6} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3.3

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3.4

Associez $\frac{4}{6}$ et $x^{3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.4.4

Associez $\frac{- 2}{3}$ et $x^{- 3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.4.5

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{8} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{8} (2 x)$

Étape 1.5.3

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2}{8} x$

Étape 1.5.4

Associez $\frac{2}{8}$ et $x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{8}$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 (x)}{8}$

Étape 1.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{x}{4}$

Étape 1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{2}{3 x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{2}{3 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{6}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{9}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{9 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} - \frac{9}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 (\frac{9}{2}) x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{9}{2}$ .

$2 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 9}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$2 x^{2} + \frac{- 18}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{- 18}{2}$ et $x$ .

$2 x^{2} + \frac{- 18 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x$ .

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + \frac{- 9 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.3.7.2.4

Divisez $- 9 x$ par $1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.4.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 2.5.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 2.5.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 2.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 2.5.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4})$

Étape 2.5.8

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + 3 (\frac{2}{3}) x^{- 4}$

Étape 2.5.9

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{- 4}$

Étape 2.5.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6}{3} x^{- 4}$

Étape 2.5.11

Associez $\frac{6}{3}$ et $x^{- 4}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6 x^{- 4}}{3}$

Étape 2.5.12

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6}{3 x^{4}}$

Étape 2.5.13

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.5.13.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{4}}$

Étape 2.5.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{4})}$

Étape 2.5.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{4}}$

Étape 2.5.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{2}{x^{4}}$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 2 x^{2} - 9 x + \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{4}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 9 x + \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$4 x - 9 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x - 9 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x - 9 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$4 x - 9 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 x - 9 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$4 x - 9 + 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x - 9 + 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 9 + 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$4 x - 9 + 2 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$4 x - 9 + 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.4.8

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$4 x - 9 - 8 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Étape 3.5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x - 9 - 8 x^{- 5} + 0$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 9 - 8 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Étape 3.6.2

Associez des termes.

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Étape 3.6.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$4 x - 9 + \frac{- 8}{x^{5}} + 0$

Étape 3.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}} + 0$

Étape 3.6.2.3

Additionnez $4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}}$ et $0$ .

$4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}}$

Étape 3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 4 x - \frac{8}{x^{5}} - 9$