Calcul infinitésimal Exemples

$x^{y} = e^{x - y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

Étape 5.2

Simplifiez $e^{x - y} (1 - y')$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Étape 5.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $e^{x - y}$ par $1$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Étape 5.2.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Étape 5.3

Ajoutez $y' e^{x - y}$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Étape 5.4

Soustrayez $y x^{y - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{y} \ln (x)$ .

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{x - y}$ .

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ .

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ par $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ par $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ .

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$