Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{3 x + x^{2} - 4}{x - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x + x^{2} - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 1^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 1^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 + 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3 + 1 - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.6.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.2.6.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x + x^{2} - 4}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $3 + 2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 x + 3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + 3$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 3$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 lim_{x \to 1} x + 3$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \cdot 1 + 3$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 3$

Étape 4.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$5$