Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 4

Divisez $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ par $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

Étape 4.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 4.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 4.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 4.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 2 x + 1$

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 4.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

Étape 4.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

Étape 10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 11

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 11.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 11.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Étape 11.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 11.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 11.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 11.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 11.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 11.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 11.1.5

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 11.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 11.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 11.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.6.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 11.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 11.1.6.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 11.1.6.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 11.1.6.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Étape 11.1.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 11.1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 11.1.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Étape 11.1.6.2.2.4

Divisez $B (x + 1)$ par $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Étape 11.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Étape 11.1.6.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A + B x + B$

Étape 11.1.7

Remettez dans l’ordre $A$ et $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Étape 11.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 11.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B$

Étape 11.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 11.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Étape 11.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 11.3.1

Réécrivez l’équation comme $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Étape 11.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 11.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = A + B$ par $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez $1 = A + 0$ .

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Étape 11.3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.3.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Étape 11.3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.2.2.2.1

Additionnez $A$ et $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Étape 11.3.3

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Étape 11.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = 1 B = 0$

Étape 11.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = 1, B = 0$

Étape 11.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Divisez $0$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Étape 11.5.2

Supprimez le zéro de l’expression.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 12

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 12.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 12.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 12.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 13

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 13.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 13.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 13.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 13.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

Étape 15.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$