Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot - 3 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 6 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} \tan (- 6 - 2 x)}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{2 \tan (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Étape 1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Étape 1.3.1.4

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Étape 1.3.1.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Étape 1.3.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 2 \cdot - 3)}$

Étape 1.3.3.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 + 6)}$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (0)}$

Étape 1.3.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (2 x + 7)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x + 7$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{2 x + 7}$ et $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.10

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.11

Associez $\frac{4}{2 x + 7}$ et $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.12

Multipliez $4$ par $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \tan (- 6 - 2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]}$

Étape 3.14

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = - 6 - 2 x$ .

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Étape 3.14.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Étape 3.14.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Étape 3.14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Étape 3.15

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x]}$

Étape 3.16

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Étape 3.17

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Étape 3.18

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 3.19

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.20

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.21

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 3.22

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{2 x + 7} \cdot \frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{8}{2 x + 7}$ par $\frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $- 4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 9

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} 2 x + 7 \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 13

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Étape 14

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (- 6 - 2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot {(lim_{x \to - 3} \sec (- 6 - 2 x))}^{2}}$

Étape 15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Étape 16

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Étape 17

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Étape 18

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Étape 19

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 19.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Étape 19.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Étape 20

Simplifiez la réponse.

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Étape 20.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 20.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Étape 20.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{(2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Étape 20.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 20.2.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{(- 6 + 7) \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Étape 20.2.2

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$2 (- \frac{1}{1 \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Étape 20.2.3

Multipliez $\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)$ par $1$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Étape 20.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Étape 20.2.4.2

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Étape 20.2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 2 \cdot - 3)})$

Étape 20.2.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 + 6)})$

Étape 20.2.5

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (0)})$

Étape 20.2.6

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 (- \frac{1}{1^{2}})$

Étape 20.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (- \frac{1}{1})$

Étape 20.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 20.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (- \frac{1}{1})$

Étape 20.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 20.4

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 20.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 20.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$