Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = 5^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{\ln (5)}$ et $5^{x}$ .

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{\ln (5)}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{\ln (5)}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

Étape 4

L’intégrale de $5^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ et $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.2

Évaluez $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.7

Évaluez l’exposant.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.10

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.11

Réécrivez $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ comme un produit.

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

Étape 5.2.3.12

Multipliez $\frac{4}{\ln (5)}$ par $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

Étape 5.2.3.13

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

Étape 5.2.3.14

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

Étape 5.2.3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Forme décimale :

$1.56244626 \dots$

Étape 7