Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{x - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Remplacez $x + h$ par $t$ et laissez $t$ approcher de $x$ car $lim_{h \to 0} x + h = x$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $\arctan (x)$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.5

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\arctan (x) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.6

Soustrayez $\arctan (x)$ de $\arctan (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (x + h) - \arctan (x)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \arctan (h)$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $- \arctan (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \arctan (x)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1}$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{{(x + 0)}^{2} + 1}$

Étape 4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1}$