Calcul infinitésimal Exemples

${(3 x^{2} + y)}^{4} = y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(3 x^{2} + y)}^{4}) = \frac{d}{d x} (y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 x^{2} + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} + y$ .

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y')$

Étape 3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y') = y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y') = y'$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y') = y'$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x) + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y' = y'$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 6 {(3 x^{2} + y)}^{3} x + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y' = y'$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 {(3 x^{2} + y)}^{3} x + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y' = y'$

Étape 5.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $24 {(3 x^{2} + y)}^{3} x + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y'$ .

$24 x {(3 x^{2} + y)}^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} = y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$24 x {(3 x^{2} + y)}^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$24 x ({(3 x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$24 x (3^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$24 x (27 {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x (27 x^{2 \cdot 3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$24 x (27 x^{6} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$24 x (27 x^{6} + 3 (3^{2} {(x^{2})}^{2}) y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.5

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.2.5.1

Déplacez $3^{2}$ .

$24 x (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.5.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 5.2.2.2.5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$24 x (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3^{1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x (27 x^{6} + 3^{2 + 1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$24 x (27 x^{6} + 3^{3} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$24 x (27 x^{6} + 27 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x (27 x^{6} + 27 x^{2 \cdot 2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.2.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$24 x (27 x^{6}) + 24 x (27 x^{4} y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.2.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x (27 x^{4} y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.4.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 (x^{4} x) (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 (x^{4} x^{1}) (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{4 + 1} (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.4.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 (x^{2} x) (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.4.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 (x^{2} x^{1}) (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{2 + 1} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.5.1

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.5.1.1

Déplacez $x^{6}$ .

$24 \cdot 27 (x^{6} x) + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.1.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 \cdot 27 (x^{6} x^{1}) + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 \cdot 27 x^{6 + 1} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.1.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$24 \cdot 27 x^{7} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.2

Multipliez $24$ par $27$ .

$648 x^{7} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$648 x^{7} + 24 \cdot 27 x^{5} y + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.4

Multipliez $24$ par $27$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 24 \cdot 9 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.5.6

Multipliez $24$ par $9$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.6

Utilisez le théorème du binôme.

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' ({(3 x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (3^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{2 \cdot 3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.4

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3 (3^{2} {(x^{2})}^{2}) y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.5

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.7.5.1

Déplacez $3^{2}$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.5.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 5.2.2.7.5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3^{1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{2 + 1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{3} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.7.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 x^{2 \cdot 2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.7.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

Étape 5.2.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6}) + 4 y' (27 x^{4} y) + 4 y' (9 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.9

Simplifiez

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Étape 5.2.2.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 \cdot 27 y' x^{6} + 4 y' (27 x^{4} y) + 4 y' (9 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.9.2

Multipliez $27$ par $4$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 \cdot 27 y' x^{6} + 108 y' (x^{4} y) + 4 y' (9 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.9.3

Multipliez $9$ par $4$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 \cdot 27 y' x^{6} + 108 y' (x^{4} y) + 36 y' (x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $4$ par $27$ .

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $648 x^{7}$ des deux côtés de l’équation.

$648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $648 x^{5} y$ des deux côtés de l’équation.

$216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y$

Étape 5.3.3

Soustrayez $216 x^{3} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $24 x y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $108 y' x^{6}$ .

$y' (108 x^{6}) + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $108 y' x^{4} y$ .

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $36 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $4 y' y^{3}$ .

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y)$ .

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2})$ .

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.8

Factorisez $y'$ à partir de $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3})$ .

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.4.9

Factorisez $y'$ à partir de $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1) = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1) = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$ par $108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

$\frac{y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} = \frac{- 648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 5.5.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(648) x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{(648) x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{(216) x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 648 x^{7} - 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.2.1

Factorisez $648 x^{5}$ à partir de $- 648 x^{7} - 648 x^{5} y$ .

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Étape 5.5.3.2.1.1

Factorisez $648 x^{5}$ à partir de $- 648 x^{7}$ .

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2}) - 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.2.1.2

Factorisez $648 x^{5}$ à partir de $- 648 x^{5} y$ .

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2}) + 648 x^{5} (- 1 y)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.2.1.3

Factorisez $648 x^{5}$ à partir de $648 x^{5} (- x^{2}) + 648 x^{5} (- 1 y)$ .

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2} - 1 y)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2} - y)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2} - y) - 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.4.1

Factorisez $216 x^{3}$ à partir de $648 x^{5} (- x^{2} - y) - 216 x^{3} y^{2}$ .

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Étape 5.5.3.4.1.1

Factorisez $216 x^{3}$ à partir de $648 x^{5} (- x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y)) - 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.1.2

Factorisez $216 x^{3}$ à partir de $- 216 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y)) + 216 x^{3} (- 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.1.3

Factorisez $216 x^{3}$ à partir de $216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y)) + 216 x^{3} (- 1 y^{2})$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y) - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2} (- y) - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (- y) - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.4.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.4.5.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.5.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.4.6

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2}) - 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.6.1

Factorisez $24 x$ à partir de $216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2}) - 24 x y^{3}$ .

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Étape 5.5.3.6.1.1

Factorisez $24 x$ à partir de $216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})$ .

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})) - 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.1.2

Factorisez $24 x$ à partir de $- 24 x y^{3}$ .

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})) + 24 x (- 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.1.3

Factorisez $24 x$ à partir de $24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})) + 24 x (- 1 y^{3})$ .

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4}) + 9 x^{2} (- 3 x^{2} y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.3

Simplifiez

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Étape 5.5.3.6.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{2} (- 3 x^{2} y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.6.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) (- 3 y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{2 + 2} (- 3 y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.3.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.6.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.6.4.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 (x^{4} x^{2}) + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{4 + 2} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.4.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{6} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.4.2

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} + 9 \cdot - 3 x^{4} y + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.4.4

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} - 27 x^{4} y + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.4.5

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} - 27 x^{4} y - 9 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.6.5

Réécrivez $- 1 y^{3}$ comme $- y^{3}$ .

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} - 27 x^{4} y - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.5.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 27 x^{6}$ .

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6}) - 27 x^{4} y - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 27 x^{4} y$ .

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6}) - (27 x^{4} y) - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (27 x^{6}) - (27 x^{4} y)$ .

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y) - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y) - (9 x^{2} y^{2}) - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (27 x^{6} + 27 x^{4} y) - (9 x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2}) - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2}) - (y^{3}))}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2}) - (y^{3})$ .

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}))}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.7.8.1

Réécrivez $- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})$ comme $- 1 (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})$ .

$y' = \frac{24 x (- 1 (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}))}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(24 x) (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 5.5.3.7.8.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(24 x) (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$ .

$y' = - \frac{24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$