Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) - x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2})$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{4}} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Étape 3

Développez $(x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.5

Simplifiez

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int x + 2 - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.10

Déplacez $2$ .

$\int x - 1 x^{- 2} + 2 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$