Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Étape 1.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.1.11.2

Multipliez $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.2.1.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ comme ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 1.2.1.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}]$

Étape 1.2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.7

Associez les fractions.

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Étape 1.2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.7.2

Associez ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.7.3.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.7.3.2

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.2.7.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.7.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + 0)$

Étape 1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion