Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 x + 3$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{u}{4}$ par $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4.7

Associez $- \frac{3}{4}$ et $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Étape 4.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{16} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{3}{16}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{3}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{16} \int u^{2} d u))$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Étape 12.2

Simplifiez

$3 (\frac{u^{4}}{64} - \frac{u^{3}}{16}) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 3$ .

$3 (\frac{{(4 x + 3)}^{4}}{64} - \frac{{(4 x + 3)}^{3}}{16}) + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 (\frac{1}{64} {(4 x + 3)}^{4} - \frac{1}{16} {(4 x + 3)}^{3}) + C$