Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sqrt[5]{x^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{5}}$ .

$y = 2 x^{\frac{2}{5}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{2}{5}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{5}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$2 \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Étape 4.9

Associez $2$ et $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{2 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5}$

Étape 4.10

Multipliez.

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Étape 4.10.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Étape 4.10.2

Placez $x^{- \frac{3}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$