Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x^{2} = - 6$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = - 6$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = - 6$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 6$ par $- 6$ .

$x^{2} = 1$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - 0.5 \cdot {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $- 0.5$ par $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3 {(1)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $- 0.5$ et $3$ .

$f (1) = 2.5$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $2.5$ .

$2.5$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ est $(1, 2.5)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, 2.5)$

Étape 3.3

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - 0.5 \cdot {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $- 0.5$ par $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 0.5$ et $3$ .

$f (- 1) = 2.5$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $2.5$ .

$2.5$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ est $(- 1, 2.5)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, 2.5)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, 2.5), (- 1, 2.5)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = - 6 {(- 1.1)}^{2} + 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26 + 6$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 7.26$ et $6$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.26$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 1.26$ .

$- 1.26$

Étape 5.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $- 1.26$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$f'' (0) = 6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $6$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1, 1)$ .

Augmente sur $(- 1, 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = - 6 {(1.1)}^{2} + 6$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 7.26 + 6$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 7.26$ et $6$ .

$f'' (1.1) = - 1.26$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 1.26$ .

$- 1.26$

Étape 7.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $- 1.26$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(1, \infty)$

Diminue sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 2.5), (1, 2.5)$ .

$(- 1, 2.5), (1, 2.5)$

Étape 9