Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x} - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.7.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.7.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.2.7.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.3.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 1.3.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.6

Additionnez $e^{x} - e^{- x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Étape 3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.9.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 3.9.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 3.9.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 3.9.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 3.9.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Étape 3.9.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Étape 3.9.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Étape 3.9.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Étape 3.10

Additionnez $0$ et $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 \sin (2 x)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.6.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 5.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 5.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.4.8

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3.5.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 5.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 5.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x)}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 6.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 6.5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 6.6

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 6.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 6.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 8.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 8.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (0)}$

Étape 8.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{1}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{1}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$