Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x^{2} y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2} y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} y$ .

$\cos (x^{2} y) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y (2 x))$

Étape 2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y') + \cos (x^{2} y) (2 y x)$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x y \cos (x^{2} y)$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ par $x^{2} \cos (x^{2} y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ par $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x^{2} y)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x^{2} y)}$ à $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{1}{x^{2}} \sec (x^{2} y) + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

Étape 5.3.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

Étape 5.3.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x^{2} y)$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 5.3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$