Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5}{x + 1}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}}{x + 1}$

Étape 1.2

Associez $- 5$ et $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} + \frac{- 5 x}{x}}{x + 1}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 5 - 5 x}{x}}{x + 1}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{- 5 - 5 x}{x}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} - 5 - 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{- lim_{x \to - 1} 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Étape 3.1.2.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Étape 3.1.2.1.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 5 - 5 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{- 5 - 5 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Étape 3.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.5.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Étape 3.1.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $5$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.11

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \cdot 1}$

Étape 3.3.13

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + x + 1}$

Étape 3.3.14

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{2 x + 1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 5 lim_{x \to - 1} \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 4.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 4.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{- 2 + 1}$

Étape 6.1.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 5 (\frac{1}{- 1})$

Étape 6.2

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Étape 6.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$5$