Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ par $(1 + e^{x}) y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ par $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + e^{x}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 2.3.1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Étape 3.3

Simplifiez $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$