Calcul infinitésimal Exemples

$- {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- (\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7.3

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$