Calcul infinitésimal Exemples

$1 - \arctan (e^{t})$

Étape 1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \arctan (e^{t})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \arctan (e^{t})$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \arctan (t)$ et $g (t) = e^{t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{t}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{t}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} e^{t})$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(e^{t})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{t \cdot 2}} e^{t})$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 t}} e^{t})$

Étape 2.5

Associez $\frac{1}{1 + e^{2 t}}$ et $e^{t}$ .

$0 - \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

Étape 3

Soustrayez $\frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$ de $0$ .

$- \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$