Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{3} - 3 y^{3} = - 4 x^{2} y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$9 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 x^{2} - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$9 x^{2} - 9 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Étape 3.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$- 4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Étape 3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} y') - 4 (2 y x)$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 4 x^{2} y' - 8 y x$

Étape 3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x^{2} y' - 8 x y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' = - 4 x^{2} y' - 8 x y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Ajoutez $4 x^{2} y'$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y$

Étape 5.2

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 x^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2})$ .

$y' (- 9 y^{2} + 4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.4

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$y' (- 9 y^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.5

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$y' (- {(3 y)}^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.6

Remettez dans l’ordre $- {(3 y)}^{2}$ et ${(2 x)}^{2}$ .

$y' ({(2 x)}^{2} - {(3 y)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 3 y$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - (3 y))) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.8

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - 3 y)) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Étape 5.9

Divisez chaque terme dans $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ par $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ par $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Étape 5.9.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 3 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Étape 5.9.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Étape 5.9.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x - 3 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Étape 5.9.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Étape 5.9.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Étape 5.9.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$