Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{2} (3 u - 2) (u + 1) d u$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 1}^{2} 3 u (u + 1) - 2 (u + 1) d u$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 2 (u + 1) d u$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Étape 1.4

Déplacez $u$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Étape 1.5

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 (u^{1} u) + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Étape 1.6

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{1 + 1} + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Étape 1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Étape 1.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Étape 1.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 u - 2 u - 2 d u$

Étape 1.11

Soustrayez $2 u$ de $3 u$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + u - 2 d u$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} d u + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2} + - 2 u]_{- 1}^{2}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2}$ et $- 2 u]_{- 1}^{2}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2} - 2 u]_{- 1}^{2}$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} u^{2} - 2 u]_{- 1}^{2}$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2} - 2 u$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$3 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{8 + 1}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$3 (\frac{9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.8

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 8.2.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 \frac{3 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{3}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \cdot 3 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$9 + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$9 + \frac{4}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.12

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 + \frac{2}{1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.12.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$9 + 2 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.13

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$9 + 2 - 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.14

Soustrayez $4$ de $2$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.16

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot - 1)$

Étape 8.2.3.17

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + 2)$

Étape 8.2.3.18

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 8.2.3.19

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Étape 8.2.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 - 2 - \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 8.2.3.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.21.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$9 - 2 - \frac{1 + 4}{2}$

Étape 8.2.3.21.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$9 - 2 - \frac{5}{2}$

Étape 8.2.3.22

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 8.2.3.23

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 8.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 + \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

Étape 8.2.3.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.25.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$9 + \frac{- 4 - 5}{2}$

Étape 8.2.3.25.2

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$9 + \frac{- 9}{2}$

Étape 8.2.3.26

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 - \frac{9}{2}$

Étape 8.2.3.27

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 8.2.3.28

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 8.2.3.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 \cdot 2 - 9}{2}$

Étape 8.2.3.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.30.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{18 - 9}{2}$

Étape 8.2.3.30.2

Soustrayez $9$ de $18$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{2}$

Forme décimale :

$4.5$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{2}$

Étape 10