Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

Étape 7

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 7.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

Étape 7.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$u_{lower} = - 15$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Étape 7.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$u_{upper} = 25$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 8

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $- 3$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Étape 11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $25$ et sur $- 15$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

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Étape 11.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.3.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.6

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.8.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.8.2

Additionnez $125$ et $27$ .

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.9

Associez $5$ et $\frac{152}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.10

Multipliez $5$ par $152$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Étape 11.3.11

Pour écrire $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.3.12

Associez $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Étape 11.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Étape 11.3.14

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Étape 11.3.15

Associez $- 3$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Étape 11.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Forme décimale :

$- 14400979614.1438$

Étape 13