Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Étape 1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Étape 1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Étape 1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ par $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Étape 2

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $n$ à partir de $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Étape 4.2

Associez $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ et $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Étape 4.4

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Étape 4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Étape 4.7.2

Réécrivez $n^{2} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 4.7.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Étape 4.7.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = n$ et $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$