Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (2 e^{t} - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{t} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 e^{t}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Additionnez $2 e^{t}$ et $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

Étape 4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ et $e^{t}$ .

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$