Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{4 \ln (3 x - 8)}{2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} 4 \ln (3 x - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 3} \ln (3 x - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 3} 3 x - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.1.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{4 \ln (3 \cdot 3 - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4 \ln (9 - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{4 \ln (9 - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Étape 1.3.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Étape 1.3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Étape 1.3.1.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Étape 1.3.1.6

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Étape 1.3.1.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0}{2 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{0}{2 e^{6 - 6} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{0}{2 e^{0} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{4 \ln (3 x - 8)}{2 e^{2 x - 6} - 2} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (3 x - 8)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 8)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x - 8$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 (\frac{1}{3 x - 8} \frac{d}{d x} [3 x - 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{3 x - 8}$ et $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} \frac{d}{d x} [3 x - 8]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.9

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.10

Additionnez $3$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.11

Associez $\frac{4}{3 x - 8}$ et $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4 \cdot 3}{3 x - 8}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Étape 3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{2 x - 6} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6}]$ .

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Étape 3.14.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x - 6}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 3.14.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x - 6}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{4 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.15

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{4 e^{2 x - 6} + 0}$

Étape 3.16

Additionnez $4 e^{2 x - 6}$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{4 e^{2 x - 6}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{12}{3 x - 8} \cdot \frac{1}{4 e^{2 x - 6}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{12}{3 x - 8}$ par $\frac{1}{4 e^{2 x - 6}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{12}{(3 x - 8) (4 e^{2 x - 6})}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 \cdot 3}{(3 x - 8) (4 e^{2 x - 6})}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $(3 x - 8) (4 e^{2 x - 6})$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 8) (e^{2 x - 6}))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 8) (e^{2 x - 6}))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 3} \frac{3}{(3 x - 8) (e^{2 x - 6})}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 3} \frac{1}{(3 x - 8) e^{2 x - 6}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} (3 x - 8) e^{2 x - 6}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 3} (3 x - 8) e^{2 x - 6}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - 8 \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$3 \frac{1}{(lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 8) \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Étape 11

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 8) \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Étape 13

Placez la limite dans l’exposant.

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6}}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}}$

Étape 15

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}}$

Étape 16

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}$

Étape 17

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 17.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$3 \frac{1}{(3 \cdot 3 - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}$

Étape 17.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$3 \frac{1}{(3 \cdot 3 - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Étape 18

Simplifiez la réponse.

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Étape 18.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 \frac{1}{(9 - 1 \cdot 8) e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Étape 18.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$3 \frac{1}{(9 - 8) e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Étape 18.1.3

Soustrayez $8$ de $9$ .

$3 \frac{1}{1 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Étape 18.1.4

Multipliez $e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$ par $1$ .

$3 \frac{1}{e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Étape 18.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 \frac{1}{e^{6 - 1 \cdot 6}}$

Étape 18.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$3 \frac{1}{e^{6 - 6}}$

Étape 18.1.6

Soustrayez $6$ de $6$ .

$3 \frac{1}{e^{0}}$

Étape 18.1.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 18.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{1}{1})$

Étape 18.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 1$

Étape 18.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$