Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{3} + x^{2} - 1}{2 x^{3} + 7 x - 8}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2

Divisez $10$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{10 + 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 5.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Étape 7

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $10 + 0 - 0$ et $2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- 1 (- 10) + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 0$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.7

Factorisez $2$ à partir de $- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $0 \cdot 7$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 2 (0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (0 \cdot 7)$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

Étape 9.1.8.4

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \cdot 0$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)}$

Étape 9.1.8.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

Étape 9.1.8.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

Étape 9.1.8.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 5 + 0$ et $0$ .

$\frac{- 1 (- 5 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $0$ par $7$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 - 4 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 + 0}$

Étape 9.3.3

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0}$

Étape 9.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1}$

Étape 9.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{5}{1}$

Étape 9.5

Divisez $5$ par $1$ .

$5$